sábado, 6 de setembro de 2014

O teorema do fecho-complemento de Kuratowski.


Olha quem está de volta!

É isso aí, caros leitores. O blog voltou - não me pergunte até quando - e já trazendo artigo novo. Depois de ver que esta página já foi acessada 10000 vezes - espero eu que não por engano - decidi que deveria dar um pouco de atenção a este projeto de blog. O artigo de hoje é sobre um belo teorema de topologia (pleonasmo detected).

Introdução 


Antes de falarmos sobre o problema, para a conveniência do leitor, serão apresentados brevemente os conceitos de topologia envolvidos.

Definição 1: Seja $X$ um conjunto. Uma topologia em $X$ é uma coleção $\tau$ de subconjuntos de $X$ que satisfaz:

  1. $\emptyset$, $X$ \in $\tau$.
  2. Se $\{A_i\}_{i=1}^{n}$ é uma coleção finita de elementos de $\tau$, então $$\left(\bigcap_{i=1}^{n} A_i\right) \in \tau.$$
  3. Se $\{A_{\lambda}\}_{\lambda \in L}$ é uma coleção arbitrária de elementos de $\tau$, então $$\left(\bigcup_{\lambda \in L} A_{\lambda}\right) \in \tau.$$
O conjunto $X$, equipado com uma escolha de topologia $\tau$ é chamado de espaço topológico. Os elementos da topologia $\tau$ são chamados de abertos. 

Definição 2: Um subconjunto $F$ de um espaço topológico $X$ é dito fechado se seu complementar $X\setminus F$ é aberto. 

Utilizando relações básicas de teoria dos conjuntos, é possível mostrar que os conjuntos fechados satisfazem as seguintes relações:

  1. $\emptyset$ e $X$ são fechados.
  2. Se $\{F_i\}_{i=1}^{n}$ é uma coleção finita de fechados, então $$\bigcup_{i=1}^{n} F_i$$ é um conjunto fechado.
  3. Se $\{F_{\lambda}\}_{\lambda \in L}$ é uma coleção arbitrária de conjuntos fechados, então $$\bigcap_{\lambda \in L} F_{\lambda}$$ é um conjunto fechado.
Para um conjunto qualquer $B \in X$, definimos seu interior $\mbox{Int}(B)$, e seu fecho $\overline{B}$, da seguinte maneira:

$$\mbox{Int}(B)= \bigcup_{A \subset B, \ A \in \tau} A$$
e
$$\overline{B}=\bigcap_{F\supset B,\ (X\setminus F) \in \tau} F.$$
Definimos ainda as noções de exterior e fronteira. O exterior de um conjunto $A$ é  $\mbox{Ext}(A)=\mbox{Int}(X \setminus A)$. A fronteira de $A$ é o conjunto $\partial A=\overline{A} \cap \overline{X\setminus A}$. Note que a a interseção entre a fronteira de um conjunto e o interior do conjunto é vazia. Além disso, a partir da simetria da definição de fronteira, $\partial (X\setminus A)=\partial A$. e a fronteira também não intersecta o exterior do conjunto. Como consequência, notamos ainda que para qualquer subconjunto $A \subset X$, temos $$X=\mbox{Int}(A) \cup \partial A \cup \mbox{Ext}(A),$$ Usaremos ainda o fato que $\overline{A}=\mbox{Int}(A) \cup \partial A$.

Considere a coleção de todos os subconjuntos $A $ de um espaço topológico $ X $. As operações de fecho $ A \mapsto \overline {A} $ e complemento $ A  \mapsto X-A$ são funções desta coleção em si mesma. Uma bela questão aparece se nos perguntarmos qual o máximo número de conjuntos distintos podem ser gerados aplicando sucessivamente estas duas operações a um conjunto $A$ num espaço topológico $X$ - a princípio, a quantidade de conjuntos distintos geradas pode ser até não enumerável!

A resposta para este problema foi encontrada no início do século XX pelo matemático polonês Kazimierz Kuratowski em [1]. O resultado é bastante surpreendente:

Teorema (Kuratowski): Dado um subconjunto inicial $A$ de um espaço topológico $X$, é possível formar no máximo 14 conjuntos distintos aplicando as operações de fecho e complemento sucessivamente. Além disso, o número 14 é optimal, de fato, existe um subconjunto $A \subset \mathbb{R}$ que gera exatamente 14 conjuntos diferentes quando submetido a estas transformações.

O fato de tal cota superior para o número de conjuntos ser finito é algo inesperado. Mais impressionante ainda é o fato desta cota não depender do espaço topológico em questão!


A prova do teorema de Kuratowski 

Para simplificar a notação, utilizaremos os símbolos $\sigma(A)=X\setminus A$ e $\delta(A)=\overline{A}$. A composição de duas funções será denotada por justaposição dos símbolos correspondentes, e como de costume, as operações são processadas da direita para a esquerda, isto é,  $\sigma\delta(A)=X\setminus (\overline{A})$. O símbolo $\mathbb{1}$ será utilizado para denotar a transformação identidade.

Vejamos algumas propriedades das funções fecho e complemento. Note que  $\delta$ é uma função crescente com respeito a inclusão, enquanto $\sigma$ é descrescente:  se $A \subset B$, então $\delta(A)\subset \delta(B)$, e $\sigma(B) \subset \sigma(A)$.

Propriedade 1: $\sigma\sigma=\mathbb{1}$; Teoria dos conjuntos elementar.
Propriedade 2: $\delta\delta=\delta$; O fecho de um conjunto fechado é o próprio conjunto.

Propriedade 3: Se $A \subset X$, então $$[\delta\sigma\delta(A)\cap A] \subset \partial \overline{A} \subset \partial A.$$

Demonstração: Se a interseção é vazia, não há o que provar. Caso contrário, note que
\begin{align*}
\delta\sigma\delta(A)&=\overline{(\sigma\delta(A))}\\
&=\mbox{Int}(\sigma\delta(A))\cup \partial (\sigma\delta(A))\\
&=\mbox{Int}(X-\delta(A))\cup \partial (X-\delta(A))\\
&=\mbox{Ext}(\delta(A)) \cup \partial(\delta(A))
\end{align*}

Já que $\mbox{Ext}(\delta(A)) \subset \mbox{Ext}(A)$,  temos $A \cap \mbox{Ext}(\delta(A))=\emptyset$. Além disso,  $\partial(\overline{A}) \subset \partial (A)$, provando assim a propriedade 3.

$\Box$


Note que a propriedade acima implica que para qualquer conjunto $A$, vale $$\delta\sigma\delta(A) \subset \delta\sigma (A).$$

Propriedade 4: Para qualquer subconjunto $A \subset X$,
$$\delta\sigma\delta\sigma\delta\sigma\delta(A)=\delta\sigma\delta(A)$$.

Demonstração: Uma inclusão segue do corolário da propriedade 3:
\begin{align*}
\delta\sigma\delta(A)&\subset \delta\sigma(A)\\
\sigma\delta\sigma\delta(A) &\supset \sigma\delta\sigma(A)\\
\delta\sigma\delta\sigma\delta(A) &\supset \delta\sigma\delta (\sigma(A))\\
\delta\sigma\delta\sigma\delta(A) &\supset \delta(\sigma\sigma(A))\\
\delta\sigma\delta\sigma\delta(A) &\supset \delta(A)\\
\sigma\delta\sigma\delta\sigma\delta(A) &\subset \sigma\delta(A)\\
\delta\sigma\delta\sigma\delta\sigma\delta(A)&\subset \delta\sigma\delta(A)
\end{align*}

Para provar a inclusão contrária, note que se $U$ é um conjunto aberto e $x \in U$, existe um conjunto aberto contendo $x$ que não intersecta $\sigma\delta(U)=X-(\overline{U})$, o próprio conjunto $U$. Isto implica que $x \notin \delta\sigma\delta(U)$, i.e., $x \in \sigma\delta\sigma\delta(U)$. Isto mostra que  $U \subset \sigma\delta\sigma\delta(U)$, quando $U \neq \emptyset$. O caso $U=\emptyset$ é trivial.

Aplicamos agora o resultado do parágrafo anterior ao conjunto $U=\sigma\delta(A)$ (que é sempre aberto). Temos
\begin{align*}
\sigma\delta(A)&\subset \sigma\delta\sigma\delta\sigma\delta(A)\\
\delta\sigma\delta(A)&\subset \delta\sigma\delta\sigma\delta\sigma\delta(A),
\end{align*}
como queríamos mostrar.
$\Box$.

Agora temos as ferramentas necessárias para demonstrar o teorema de Kuratowski.

Demonstração do teorema: Considere um conjunto $A$. As propriedades 1 e 2 mostram que se o mesmo símbolo ($\delta$ ou $\sigma$) aparece duas vezes seguidas, podemos simplificar a expressão seguindo as regras presentes nas propriedades mencionadas, de modo que a expressão resultante possui somente símbolos alternados.

Podemos começar a sequência de operações com $\delta$, neste caso geramos no máximo 6 conjuntos distintos: $$\delta(A), \sigma\delta(A), \delta\sigma\delta(A), \sigma\delta\sigma\delta(A), \delta\sigma\delta\sigma\delta(A),\sigma\delta\sigma\delta\sigma\delta(A).$$ Em vista da propriedade 4, deste ponto em diante a sequência torna-se periódica.

Se escolhermos iniciar com $\sigma$, temos uma operação extra permitida: $$\sigma(A), \delta\sigma(A), \sigma\delta\sigma(A), \delta\sigma\delta\sigma(A), \sigma\delta\sigma\delta\sigma(A), \delta\sigma\delta\sigma\delta\sigma(A), \sigma\delta\sigma\delta\sigma\delta\sigma(A).$$
O próximo elemento é igual ao 4º elemento da sequência, e a partir daí ela se torna periódica. Deste modo, temos o número máximo de 14 conjuntos distintos.

Para mostrar que 14 é de fato a melhor cota superior, exibimos um conjunto $A \subset X$ que gera 14 conjuntos. Surpreendentemente, este conjunto pode ser construído mesmo em $\mathbb{R}$, com a topolgia usual - a primeira impressão é de que algo bizarro assim aconteceria numa topologia maluca!

Considere o conjunto
$$A=\{0\}\cup (1,2)\cup(2,3)\cup \{x \in \mathbb{Q}\ | \ 4\leq x <5\}.$$
Este conjunto gera exatamente 14 conjuntos distintos através destas operações. Abaixo está a lista dos outros 13 ( o leitor é convidado a verificar).

\begin{align*}
\delta(A)&=\{0\}\cup[1,3]\cup[4,5]\\
\sigma(A)&=(-\infty,0)\cup(0,1]\cup\{2\}\cup[3,4)\cup\{x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\ | \ 4 \leq x <5\}\cup [5,+\infty)\\
\sigma\delta(A)&=(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(3,4)\cup(5,+\infty)\\
\delta\sigma(A)&=(-\infty,1]\cup\{2\}\cup[3,\infty)\\
\delta\sigma\delta(A)&=(-\infty,1]\cup[3,4]\cup [5,+\infty)\\
\sigma\delta\sigma(A)&=(1,2)\cup(2,3)\\
\sigma\delta\sigma\delta(A)&=(1,3)\cup(4,5)\\
\delta\sigma\delta\sigma(A)&=[1,3]\\
\delta\sigma\delta\sigma\delta(A)&=[1,3]\cup[4,5]\\
\sigma\delta\sigma\delta\sigma(A)&=(-\infty,1)\cup(3,+\infty)\\
\sigma\delta\sigma\delta\sigma\delta(A)&=(-\infty,1)\cup(3,4)\cup(5,+\infty)\\
\delta\sigma\delta\sigma\delta\sigma(A)&=(-\infty,1]\cup[3,+\infty)\\
\sigma\delta\sigma\delta\sigma\delta\sigma(A)&=(1,3)
\end{align*}


$\Box$

Referências


[1] Kuratowski, K., Sur l'operátion $\overline{A}$ de l'Analysis Situs. Fundamenta Mathematicae. Warsaw, Polish Academy of Sciences 3 pp. 182-199 (1922).

[2] Munkres, James R., Topology. 2nd edition. Pearson. (2000).


quinta-feira, 26 de dezembro de 2013

Uma avaliação da minha experiência no ensino superior público.

Antes de tudo, este é um texto de opinião, baseado em minhas experiências enquanto aluno e professor de ensino superior. Não vou lhes dar fatos, dados, e estatísticas - eu vejo diariamente que estes instrumentos são banalmente maquiados - vou apenas lhes contar as minhas impressões diárias. Discorda? Comente, e teremos aqui uma discussão sadia. Qualquer discussão sobre este tópico é extremamente importante, e digo de antemão que ficarei realmente satisfeito se me mostrarem que o que lhes apresento a seguir é somente um devaneio da minha mente, que não consegue enxergar as melhorias na situação do ensino superior público.

A aberração do processo seletivo


Para esclarecer a discussão desde o início, deixem-me ser direto: a decisão pelo ENEM como processo seletivo do ensino público foi uma das piores decisões que eu já vi no passado recente desse país. 


Razão 1: Nós não temos a capacidade logística para realizar uma prova deste nível de abrangência, como os problemas encontrados todo ano mostram.

Uma solução mais sensata seria regionalizar o acesso à universidade, em caráter experimental, e posteriormente quando os problemas iniciais fossem resolvidos, migrar para um sistema de acesso nacional menos caótico.

Razão 2: O desnível na educação entre nas diversas regiões do país é patente, o que no lugar de abrir mais oportunidades para as pessoas de regiões mais pobres do país, acarreta um êxodo de alunos medianos das regiões com melhor educação para as universidades de localidades com um sistema escolar precário. A desculpa de tornar o acesso mais democrático, abrangente, e menos elitista não está funcionando.

Novamente, a regionalização tomaria conta deste problema.

Razão 3: As universidades federais brasileiras não estão equipadas com alojamentos para estudantes em quantidade suficiente para suprir a demanda das imigrações resultantes do sistema de acesso nacional. 

Sejamos honestos, o aluno da escola pública do Amazonas não tem condições de ir viver de bolsa e pagando aluguel em São Paulo. O sistema de acesso nacional na prática beneficia quem tem condições financeiras para ir morar sozinho em outra cidade. Pouco muda para as camadas de baixo do sistema econômico.

Uma ótima solução é a criação de novas universidades afastadas dos grandes centros urbanos. Além de diminuir os custos para os alunos, tal iniciativa pode ser utilizada para formar novos grandes centros. A presença de vida universitária naturalmente atrai investimentos para a cidade (estudantes ganham pouco, mas costumam gastar tudo o que ganham). Berkeley, CA, é um ótimo exemplo deste fenômeno. A cidade desenvolveu-se em torno da Universidade que leva seu nome, e até hoje esta instituição é a maior empregadora da cidade, empregando cerca de 12% da população de 110 mil habitantes.

Razão 4: A ausência de provas específicas.

Uma falha gravíssima no processo seletivo. Ela deixa que alunos que mal sabem somar frações adentrem cursos de Matemática, por exemplo. O teste específico, sobretudo se feito via prova discursiva, mostra a habilidade do aluno no que ele se propõe a fazer. Serve como termômetro para o aluno - que checa se ele realmente está apto a fazer o curso que deseja, e para a Universidade, para medir se o aluno têm as qualificações necessárias para cursar de maneira satisfatória o curso que escolheu.

Todo mundo aceita que para adentrar um curso de música o cara tem que saber a diferença entre o som de um piano e um violão, então por que não aceitar que para entrar em engenharia civil o candidato tenha que saber um mínimo de geometria?

Razão 5: A  avacalhação do SISU (perdoem-me os leitores, não consigo pensar em palavra que descreva melhor a situação).

Por favor, estamos lidando com estudantes que tem em geral, no mínimo 17 anos. Já deu pro cara saber mais ou menos o que diabos ele quer fazer da vida.  Uma pessoa que muda de curso a cada 5 minutos por não ter atingido a nota de corte provavelmente é um desperdício de dinheiro público - como mostram as altas taxas de evasão nas universidades federais. Deixe-o pensar por mais um ano, e coloque alguém que sabe o que quer.

Sim, eu sei que infelizmente a maioria dos alunos entra nos cursos sem saber qual a grade curricular, sem conhecer as opções de mercado de trabalho, sete infernos, tem gente que ainda entra nos cursos que a família impõe!

Mas abrir todo o leque de opções da Universidade, sem a passagem por um teste de aptidão específico é um erro de proporções catastróficas.

Melhor do que deixar entrar no curso de Matemática um cara que mal sabe resolver uma equação polinomial e que não possui interesse algum no curso (provavelmente está ali pensando em mudar de curso ou em pegar o diploma e ir fazer um concurso qualquer) é deixar entrar alguém que talvez não tenha tido uma formação boa nas outras áreas, mas que gosta de Matemática e tem aptidão para fazê-la.

Sugestão: limitar o número de opções que o candidato tem; definição dos cursos escolhidos no momento da inscrição no ENEM; limitar as opções por grande área - uma pessoa que muda de Publicidade e Propaganda para Bacharelado em Física, e depois muda para Biblioteconomia provavelmente se confundem quando perguntam-no seu nome. (Sim, eu sei que existem pessoas com habilidades em diversas áreas, mas sejamos francos, encontrar pessoas com habilidades em uma só já tá difícil...)


Em resumo, tentou-se fazer um vestibular unificado, mais democrático e mais transparente, e depois ir corrigindo os pequenos problemas. Adivinhem só? Os problemas foram grandes. E nos custam muito caro. Temos benditos 513 anos desde a colonização, já vimos um monte de coisas dar errado neste país. Já passou da hora de pensarmos nas ações que tomamos antes que grandes desastres aconteçam.

Eu poderia passar o dia inteiro fazendo mais sugestões, mas acho que o argumento já foi entendido e este não é o foco, então passemos à próxima parte.

A situação nas universidades


A educação brasileira é uma droga e os estudantes são mal preparados e mal selecionados para a universidade. 

Se eu for justificar a frase acima, terei que escrever um livro - que provavelmente teria mais de um volume. Mas vamos lá, vocês sabem que é verdade. 

O que já era ruim, ficou pior, essencialmente por conta das razões 4 e 5 do tópico acima. Mas o objetivo deste tópico não é apontar o óbvio, e sim sugerir melhorias. 

Dada a má formação crônica dos estudantes que adentram o ensino superior, somada à pobre política de escolha de curso existente, é visível a enorme quantidade de dificuldades encontrada pelos estudantes em seus cursos de graduação. E espere aí, eu não estou dizendo que estes cursos devem ser fáceis. O maior problema é que as dificuldades estão onde não deveriam estar, o que faz com que não avancemos no ensino superior.


Os estudantes se debatem contra os cursos de Cálculo por uma razão muito simples: eles mal sabem o que é uma função! Eles são sufocados por cursos de Álgebra Linear e Geometria Analítica Vetorial por que eles não aprenderam nem a geometria euclidiana plana. 


Culpar o sistema educacional é válido, culpar o professor, as políticas educacionais, o aluno e o processo seletivo também. Mas não vai resolver absolutamente nada. 
 Reprová-los é necessário, caso não saibam o suficiente para prosseguir, mas os altos índices de reprovação só levam ao inchaço das universidades, e pior, à retenção de vagas públicas que poderiam servir a outros alunos. Ficar só reprovando, reprovando, e reprovando também vai resolver muito pouco. 

O que os estudantes precisam é de instrução, não de lembranças constantes que eles não tem a qualificação necessária. Eu vejo duas saídas, que se complementam, para resolver este problema. 

Saída 1: A extensão do currículo universitário.

Mais especificamente, o que se faz necessário é a expansão do ciclo básico. Que seja feito um ano de revisão, para aqueles que dela precisarem. E que se houver um bom aluno que demonstre proficiência nestas disciplinas mais elementares, que o deixemos seguir adiante. Para os que já sabem, nada muda, e para os que não sabem, por qualquer motivo que seja, vamos dar uma mão. Todo mundo vai reclamar no começo - infelizmente a maioria das pessoas só quer o diploma, e o quanto antes melhor - mas quando as taxas de reprovação diminuírem as pessoas vão lembrar de como esta etapa foi importante.

E isto não é diminuir as universidades, de modo algum.  Grandes universidades do mundo fazem isso, sem vergonha nenhuma, e vão muito bem, obrigado. 

"Ah, mas o fracasso do sistema educacional básico não é problema nosso", argumentariam alguns professores universitários.

Vou já tocar neste ponto com mais cuidado, mas encaremos os fatos: no momento em que foi decidido aceitar o sistema fracassado, isto tornou-se problema nosso, sim. Nós podemos reclamar, e botar a culpa em todo mundo, ou podemos fazer alguma coisa pra resolver. Eu acho que a segunda opção é mais frutífera. E francamente, não é como se ensinar Matrizes ou os rudimentos de Mecânica Clássica do ensino médio fosse uma tarefa intelectual hercúlea para professores que em sua maioria têm mestrado ou doutorado. 

Sim, esta saída geraria ainda mais problemas de falta de professores no início (digamos, nos primeiros 10 anos...), mas ninguém disse que resolver um problema deste tamanho não teria seus percalços. 

Saída 2: Vamos levar à sério a formação de professores. 

Grande parte da culpa do sistema educacional ruim que temos, é a má qualidade dos professores. E adivinha onde eles são formados? Vê, cara pálida? O problema é sim, seu também (note: "seu também" $\neq$ "seu, exclusivamente"). 

Sim, os estudantes que entram nos cursos de licenciatura têm mais o perfil do cara que não conseguiu entrar no curso que queria do que o perfil do amante do magistério. E há diversas razões de ordem social e econômica que justificam isso. O salário é ruim, as condições de trabalho piores ainda, a progressão de carreira é quase inexistente, e toda a sociedade celebra nosso dia 15 de outubro, mas na verdade uma parcela bastante pequena dá importância. 

E entre aqueles que dão pouca importância, estamos nós, os formadores destes próximos professores. Por que em geral os piores professores são colocados para dar aula nas licenciaturas. Por que via de regra, nós deixamos os alunos passarem adiante mesmo quando não estão qualificados para isso. Por que nós, que somos professores também, não nos unimos para lutar em prol dos professores dos ensinos fundamental e médio. Nós fazemos greve pelos nossos salários, pelas nossas condições de trabalho, e os outros que se explodam.
Nós podemos mudar este quadro. De fato, somos pagos para isso!  

Minha conclusão após 5 meses neste trabalho é que a situação está ruim, mas ela permanece assim por um pouco de falta de vontade e um muito de falta de bom senso daqueles que dirigem a educação. Mas se ninguém quer melhorar, que o façamos nós. Se somos a engrenagem que move a sociedade, então vamos começar a mover alguma coisa!

domingo, 13 de outubro de 2013

A história da hipótese de Riemann - parte 4: Revoluções e números primos.

Em 1789, a revolução francesa iniciaria uma onda de mudanças na Europa. Queda do Ancien Régime, a república, o império de Napoleão! Naturalmente, estas mudanças foram sentidas também na matemática. Napoleão entendia que a matemática e as ciências deveriam servir ao povo. Durante seus dias no poder, ele criou diversas instituições de ensino na França com o propósito de formar sobretudo engenheiros.

Esta visão utilitária da matemática, alinhada ao desenvolvimento industrial da época tornara a matemática na França insípida. Havia produção, sim, que o digam Laplace, Lagrange, Monge, Fourier e tantos outros. Mas segundo Niels Abel

Augustine Louis Cauchy
"Enquanto os outros estão se ocupando exclusivamente com magnetismo e outros assuntos físicos, Cauchy é o único que sabe como matemática deve ser feita."

Cauchy era um dos poucos matemáticos franceses a desafiar este sistema utilitário imposto pelas autoridades. O diretor da École Polythecnique chegou a criticar formalmente em uma carta o comportamento de Cauchy,

"É opinião de muitas pessoas que a instrução de matemática pura está sendo levada muito longe na École e que tal extravagância é prejudicial às outras ciências"
E seria uma inovação de Cauchy - a análise complexa - que viria a revolucionar a teoria dos números anos depois.

Enquanto isso a leste da fronteira francesa uma nova velha corrente havia se instaurado. Wilhelm von Humboldt foi nomeado ministro da Educação no estado alemão da Prússia e com ele veio o pensamento que favorecia o estudo de ciências e matemática não como meios para um fim, mas como algo que tinha sua própria vida. Novas escolas, chamadas Gymnasiums, foram criadas por toda a Prússia e no estado vizinho de Hanover. A mudança? Os professores destas escolas não eram mais membros do clero, mas as pessoas graduadas nas novas universidades europeias. Com eles, a noção de pesquisar simplesmente por curiosidade, como faziam os antigos, foi restabelecida.

Numa destas escolas, o Gymnasium Johanneum, estudava um garoto tímido, de poucos amigos, cujo perfeccionismo era capaz de fazê-lo não entregar os trabalhos para não sofrer a humilhação de não obter o conceito máximo.  O "problema" era grave o suficiente para fazer com que seus professores duvidassem de sua capacidade de ser aprovado nos exames finais.

O diretor desta escola, Schmalfuss, havia notado as habilidades matemáticas deste garoto e estava ansioso para estimula-las. Foi também Schmalfuss que teve a ideia de explorar a obsessão por perfeição do garoto. Na biblioteca de Schmalfuss encontravam-se livros dos maiores pensadores da época, assim como os livros dos grandes pensadores gregos. No lugar de tabelas trigonométricas e algoritmos desalmados, Schmalfuss passou a alimentar o garoto com as idéias de Euclides, Arquimedes e Apollonius.
Sobre o garoto, o diretor disse em uma carta que "mesmo naquela época ele já era um matemático que fazia o mais distinto professor parecer um leigo".

Um livro em particular chamou a atenção do jovem garoto, Théorie des Nombres, um generoso tomo de 859 páginas publicado por Adrien-Marie Legendre em 1808. Neste livro, estava a aproximação sugerida por Legendre para a função $\pi$ de Gauss, e a conexão desta função com logaritmos. O garoto entregou o livro ao diretor após 6 dias, dizendo "este livro é maravilhoso; eu tenho certeza disso". Schmalfuss ficou surpreso ao ver que o garoto havia devorado o livro tão rapidamente, e até duvidou do feito. Dois anos depois, em seus exames finais, o garoto provou a Schmalfuss que entendera o conteúdo do livro perfeitamente.

O garoto agora aprovado nos exames do Gymnasium estava ansioso para adentrar uma grande universidade. Berlin, talvez? Não. A situação financeira da família do garoto levou seu pai a insistir que o filho se matriculasse na escola de teologia. A vida de clérigo iria trazer à família a estabilidade financeira necessária para viver.

Bernhard Riemann
Quis o destino que a única escola de teologia em todo o reino de Hanover fosse a Universidade de Göttingen. Lá, o garoto encontraria Gauss - o pai da relação entre números primos e logaritmos. Logo os corredores da escola de teologia ficariam muito curtos para o brilhante jovem, e finalmente, após a aceitação do pai, ele seria transferido para a escola de matemática. Seu nome? Bernhard Riemann.


"Não há vida longe de Göttingen".

Esta era a máxima que permeava na pequena cidade da baixa saxônia. A vida universitária em Gottingen era autossuficiente. Poucas palestras eram dadas por visitantes, mas apesar da falta de intercâmbio matemático, Göttingen produzia bastante pelo fogo que ardia dentro de suas muralhas. Gauss, nesta época já velho, vivia no observatório, e só dava aulas em astronomia, frequentemente sobre o método com o qual ele redescobriu o planeta perdido Ceres. Rapidamente Riemann esgotou os recursos da universidade, e o lema da pequena cidade já não se aplicava mais a ele.

Berlin era onde Riemann poderia encontrar a animação que procurava. A Universidade de Berlin havia sido amplamente influenciada pelas universidades francesas (ela foi fundada durante a ocupação napoleônica), e era de lá que a maioria das inovações eram importadas, e em Berlin lia-se todos os grandes jornais das academias francesas.

Um destes jornais era o Comptes Rendus, e um matemático em particular estava a desenvolver uma nova linguagem na mesma época em que Riemann esteva em Berlin. Cauchy estudava os números complexos, e Riemann era um dos poucos que apreciava seu trabalho na época. Os contemporâneos de Riemann diziam que ele praticamente não era visto pelos corredores da Universidade, até que um dia ele reapareceu, dizendo, "esta é uma nova matemática".

E seria através desta nova liguagem que Riemann iria revolucionar, em 8 páginas, a história da teoria dos números.

Alguns problemas interessantes.

Olá pessoal. É com prazer que retorno às atividades do blog. O tempo anda corrido, então a produtividade aqui tem decrescido. Vamos ver se consigo terminar alguns dos antigos projetos desta vez.

O post de hoje propõe alguns problemas, os quais resolverei em algum momento (sem mais promessas neste blog). Acredito que esta é uma boa seleção de problemas que mostra como é possível, com conceitos bastante elementares, criar problemas interessantes. Sem mais delongas, vamos à lista.


Problema 1: Seja $n$ um número natural. Determine, em função de $n$, qual o menor número $k$ tal que todo subconjunto de $\mathbb{Z}$ com $k$ elementos possui $n$ cuja soma é divisível por $n$.

Problema 2: Considere o conjunto $A=\{1,2,3, \cdots,  280\}$. Determine o menor número $n$ tal que qualquer subconjunto de $A$ com $n$ elementos possui 5 elementos primos entre si.

Problema 3: Seja $P$ um polígono convexo com 2006 lados tal que os segmentos ligando os vértices opostos e os segmentos ligando os pontos médios de lados opostos são todos concorrentes em um único ponto. Mostre que os lados opostos do polígono são paralelos e congruentes.

Problema 4: Os números de 1 a 1000000 podem ser coloridos em preto e branco. Um movimento admissível consiste em escolher um número entre 1 e 1000000 e mudar a cor deste número e de todos os números não relativamente primos ao número escolhido. Inicialmente, todos os números estão pintados de preto. É possível fazer uma sequência de movimentos tal que ao final todos os números estarão coloridos em branco?

Isto é tudo, por hora. Divirtam-se!

quinta-feira, 30 de maio de 2013

O Lamento de um Matemático, parte 2.

Dando continuidade à série "O Lamento de um Matemático", trago hoje a segunda parte do texto de P. Lockhart. O leitor pode encontrar a primeira parte neste post.

Matemática e Cultura


Por Paul Lockhart


       A primeira coisa para entender é que matemática é uma arte. A diferença entre matemática e as outras artes, como música e pintura, é que nossa cultura não a reconhece como tal. Todos compreendem que poetas, pintores e músicos criam obras de arte, e estão expressando-se em palavra, imagem e som. De fato, nossa sociedade é bastante generosa no que diz respeito à expressão criativa; arquitetos, chefs, e até mesmo diretores de televisão são considerados artistas. Então por que não matemáticos?
       Parte do problema é que ninguém tem a mínima ideia do que os matemáticos fazem. A percepção comum parece ser que os matemáticos estão de alguma maneira ligados à ciência - talvez eles ajudem os cientistas com suas fórmulas, ou joguem grandes números em computadores por alguma razão. Não se discute que se o mundo fosse dividido entre os "sonhadores poéticos" e os "pensadores racionais", a maioria das pessoas iria colocar matemáticos na segunda categoria.
       Não obstante, o fato é que não há nada tão sonhador e poético, nada tão radical, subversivo e psicodélico quanto a matemática. É tão excitante quando cosmologia ou física (os matemáticos "criaram" os buracos negros muito antes que algum astrônomo realmente encontrasse um), e dá mais liberdade de expressão que poesia, arte, ou música ( que dependem fortemente em propriedades do universo físico). Matemática é a mais pura das artes, assim como a mais mal entendida.
       Então deixe-me tentar explicar o que é matemática, e o que matemáticos fazem. Eu não poderia fazer melhor senão em começar com a excelente descrição de G. H. Hardy:

"Um matemático, como um pintor ou poeta, é um criador de padrões. Se os padrões dele são mais permanentes que os dos outros, é por que são feitos de idéias."

       Então, matemáticos ficam por ai criando padrões de idéias. Que tipo de padrões? Que tipo de idéias? Idéias sobre rinocerontes? Não, estas nós deixamos para os biólogos. Idéias sobre linguagem e cultura? Não,  geralmente não. Estas coisas são todas muito complicadas para o gosto da maioria dos matemáticos. Se há algo como um princípio estético universal em matemática, é este: o simples é belo. Matemáticos gostam de pensar sobre as coisas mais simples possíveis, e as coisas mais simples possíveis são imaginárias.
       Por exemplo, se eu estou com vontade de pensar sobre formas - e frequentemente eu estou - eu posso imaginar um triângulo dentro de uma caixa retangular:

       

Eu me pergunto, qual porção da caixa o triângulo toma? Dois terços, talvez? O importante é entender que eu não estou falando sobre este desenho de um triângulo em uma caixa. Nem estou falando sobre um triângulo de metal formando parte de uma trave para uma ponte. Não há nenhum propósito prático oculto aqui. Eu estou só brincando. Isto é que é matemática - perguntar, brincar, divertir-se com a sua imaginação. Por um lado, a questão sobre o quanto o triângulo toma da área da caixa não faz sentido para objetos reais. Mesmo o triângulo feito mais cuidadosamente é uma coleção complicada de átomos em movimento; ela muda seu tamanho de um minuto ao outro. Isto é, a menos que você queira falar sobre medidas aproximadas. Bem, é ai que a beleza entra. Isto não é simples, e portanto é uma questão feia, que depende de toda sorte de detalhes do mundo real. Deixemos isto para os cientistas. A questão matemática é sobre um triângulo imaginário dentro de um retângulo imaginário. As arestas são perfeitas por que eu quero que elas sejam - este é o tipo de objeto sobre o qual prefiro pensar. Este é um  lema em matemática: as coisas são o que você quer que elas sejam. Você tem infindáveis escolhas; não há nenhuma realidade no seu caminho. 
       Por outro lado, feitas as suas escolhas (por exemplo eu posso escolher tomar meu triângulo simétrico ou não) então as suas novas criações fazem o que fazem, goste você ou não. Isto é a coisa interessante ao fazer padrões imaginários - eles tem vida própria! O triângulo toma uma certa porção da caixa, e eu não tenho controle sobre qual porção.  Há um número lá, talvez seja dois terços, talvez não, mas eu não posso ditar qual é. Eu tenho que descobrir qual é.
       Então nós podemos brincar e imaginar o que quisermos, criar padrões e fazer perguntas sobre eles. Mas como respondemos tais questões? Não é nem um pouco como ciência. Não há um experimento que eu posso fazer com tubos e equipamento ou o que quer que seja que irá me dizer a verdade sobre uma invenção da minha imaginação. A única maneira para chegar a verdade sobre nossas imaginações é usar nossa imaginação, e isto é trabalho duro.
       No caso do triângulo dentro da caixa, eu posso ver algo simples e belo:

       Se eu cortar o retângulo em dois pedaços como acima, eu posso ver que cada pedaço é cortado na metade pelos lados do triângulo. Portanto, há o mesmo espaço dentro do triângulo do que fora dele. Isto significa que o triângulo toma exatamente metade da caixa!
       Isto é como um pedaço de matemática parece. Esta pequena narrativa é um exemplo da arte do matemático: fazer perguntas simples e elegantes sobre nossas criações imaginárias, e criar explicações belas e satisfatórias. Não há realmente nada como este reino de puras idéias; é fascinante, é divertido, e é livre!
      Mas de onde esta minha ideia veio? Como eu sabia onde traçar aquela reta? Como um pintor sabe onde colocar seu pincel? Inspiração, experiência, tentativa e erro, ou sorte. Esta é a arte, criar estes belos pequenos poemas de pensamento, estes sonetos de pura razão. Há algo tão maravilhosamente transformacional sobre esta forma de arte. A relação entre o triângulo e o retângulo era um mistério, e então aquela pequena reta a tornou óbvia. Eu não podia ver, e de repente, eu pude. De alguma maneira, eu fui capaz de criar uma profunda e simples beleza do nada, e mudar a mim mesmo no processo. Não é isto que é arte?
      É por isso que parte o coração ver o que está sendo feito com matemática na escola. Esta rica e fascinante aventura da imaginação está sendo reduzida a um conjunto estéril de "fatos" a serem memorizados e procedimentos a serem seguidos. No lugar de uma simples e natural questão sobre formas, e um processo criativo e recompensador de invenção e descoberta, os estudantes estão submetidos a isso:

A fórmula da área do triângulo.

       "A área do triângulo é igual a metade da base vezes sua altura". Os estudantes são obrigados a memorizar esta fórmula e então "aplica-la" várias vezes nos "exercícios". A emoção se foi, a diversão, e até mesmo a dor e a frustração de um ato criativo. Não há mais nem mesmo um problema. A pergunta foi feita e respondida ao mesmo tempo - não há mais nada para o estudante fazer.
       Agora deixe-me ser claro sobre qual a minha objeção. Não é sobre formulas, ou memorizar fatos interessantes. Isto é normal, e tem seu lugar assim como aprender um vocabulário - ajuda você a criar obras de arte mais ricas e cheias de nuances. Mas não é o fato que o triângulo toma metade da sua caixa que interessa. O que interessa é a bela ideia de cortar o retângulo com a reta, e como isto pode inspirar outras belas ideias e gerar descobertas criativas em outros problemas - algo que uma mera afirmação ou fato nunca pode lhe dar.
       Removendo o processo criativo e deixando somente os resultados deste processo, você virtualmente garante que ninguém vai ter um engajamento real com o assunto. É como dizer que Michelangelo criou uma bela escultura sem deixar-me vê-la. Como eu posso me inspirar com isso? (E é claro que é realmente muito pior que isso - pelo menos eu sei que há uma arte de escultura que eu estou sendo impedido de apreciar).
       Concentrando-se em o que, e deixando de lado o porque, a matemática é reduzida a uma casca vazia. A arte não está na "verdade" e sim na explicação, no argumento. É o argumento que dá a verdade o seu contexto, e determina o que está realmente sendo dito. Matemática é a arte da explicação. Se você negar aos estudantes a oportunidade de engajar-se nesta atividade - propor seus próprios problemas, fazer suas próprias conjecturas e descobertas, estar errado, ter sua criatividade frustrada, ter inspiração, e a construir as suas próprias explicações e provas - você os nega a própria matemática. Então não, eu não estou reclamando da presença de fatos e fórmulas em nossas aulas de matemática. Eu estou reclamando da falta de matemática nas nossas aulas de matemática.
      Se o seu professor lhe dissesse que pintar é somente preencher regiões enumeradas, você saberia que algo está errado. A cultura lhe informa - há museus e galerias, assim como arte em sua própria casa. Pintura é bem entendida pela sociedade como um meio de expressão humana. Da mesma forma, se a sua professora de ciências tentasse lhe convencer que astronomia é prever o futuro de uma pessoa baseado em sua data de nascimento, você saberia que ela estaria louca - a ciência entranhou-se em nossa cultura de tal modo que quase todo mundo sabe sobre os átomos, as galáxias e as leis da natureza. Mas se seu professor de matemática lhe passa a impressão, seja expressamente ou por padrão, que matemática é sobre fórmulas e definições e memorização de algoritmos, quem colocará você no caminho certo?
       O problema cultural é um monstro que se perpetua: os alunos aprendem matemática a partir de seus professores, e os professores aprendem matemática com seus professores, e esta falta de entendimento e apreciação pela matemática em nossa cultura se multiplica indefinidamente. Pior, a perpetuação dessa "pseudo-matemática", esta ênfase na  precisa embora sem sentido manipulação de símbolos, cria a sua própria cultura e seu próprio conjunto de valores. Aqueles que se tornam adeptos a ela conseguem uma grande quantidade de auto-estima do seu sucesso. A última coisa que eles querem ouvir é que matemática é na verdade criatividade nua e sensitividade estética. Muitos pós-graduandos vem a lamentar quando eles descobrem, depois de uma década de ouvir dizerem que eles eram "bons em matemática", que de fato eles não tem nenhum talento matemático de verdade, e que eles eram somente muito bons em seguir instruções. Matemática não é seguir direções, matemática é criar novas direções.
       E eu ainda nem mencionei a falta de criticismo matemático na escola. Em nenhum momento os estudantes são informados sobre o segredo que matemática, assim como qualquer literatura, é criada por seres humanos para o seu próprio divertimento; que os trabalhos dos matemáticos estão sujeitos à avaliação crítica; que se pode ter e desenvolver um gosto matemático. Um pedaço de matemática é como um poema, e nós podemos nos perguntar se ele satisfaz nossos critérios estéticos: Este argumento é bom? Ele faz sentido? É simples e elegante? Ele me leva mais perto do coração do assunto? É claro que não há criticismo algum na escola - não há arte sendo feita para ser criticada!
       Por que nós não queremos que nossas crianças aprendam matemática? Será que é por que não confiamos neles, por que pensamos que é difícil demais? Nós parecemos nos sentir felizes que eles são capazes de ter discussões e chegar às suas próprias conclusões sobre Napoleão, então por que não sobre triângulos? Eu acho que simplesmente nossa cultura não sabe o que é matemática. A impressão que é passada é de algo bastante frio e altamente técnico, que ninguém poderia entender - uma profecia realizada se alguém um dia consegue.
        Seria ruim o bastante se a cultura fosse meramente ignorante em matemática, mas o que é muito pior que é as pessoas realmente acham que sabem do que ela se trata - e estão aparentemente sobre o equívoco que matemática é de alguma forma útil para a sociedade! Esta já é uma grande diferença entre matemática e as outras artes. Matemática é vista pela cultura como uma espécie de ferramente para a ciência e a tecnologia. Todos sabem que poesia e música são para puro divertimento e para edificar e enobrecer o espírito humano (por isso a sua virtual eliminação do currículo das escolas públicas) mas não, matemática é importante.
       
SIMPLICIO: Você está realmente tentando afirmar que matemática não oferece aplicações úteis e práticas à sociedade?

SALVIATI: É claro que não. Eu estou meramente sugerindo que não é por que algo tem consequências práticas que é disso que se trata. Música pode liderar exércitos em batalha, mas não é por isso que as pessoas escrevem sinfonias. Michelangelo decorou um teto, mas eu tenho certeza que ele tinha algo mais elevado em sua mente. 

SIMPLICIO: Mas nós não precisamos que as pessoas aprendam estas consequências úteis da matemática? Nós não precisamos de contadores e carpinteiros e coisas do tipo?

SALVIATI: Quantas pessoas de fato usam esta "matemática prática" que eles deveriam aprender na escola? Você acha que carpinteiros estão usando trigonometria? Quantos adultos se lembram como dividir frações, ou resolver equações do segundo grau? Obviamente o programa de treinamento prático atual não está funcionando, e por uma boa razão: é dolorosamente chato, e ninguém usa mesmo. então por que as pessoas acham que é importante? Eu não vejo como a sociedade está se beneficiando em ter seu membros andando por ai com vagas memórias de fórmulas algébricas e diagramas geométricos, e claras memórias de odiá-los. Pode ser que faça algum bem, entretanto, mostrar a eles algo belo e dar-lhes a oportunidade de gostar de serem criativos, flexíveis, pessoas com a mente aberta - o tipo de coisa que uma real educação matemática pode fornecer. 

SIMPLICIO: Mas as pessoas precisam saber equilibrar suas contas, não precisam?

SALVIATI: Eu estou certo que a maioria das pessoas usa uma calculadora para a aritmética do cotidiano. E por que não? É certamente mais fácil e mais confiável. O meu argumento não é só que o sistema atual é terrivelmente ruim, é que o que está se perdendo é maravilhosamente bom! Matemática deveria ser ensinada como arte, pela própria arte. Estes aspectos úteis mundanos seguiriam naturalmente como um subproduto trivial. Beethoven poderia facilmente escrever um anúncio comercial, mas a sua motivação para aprender música era criar algo belo.

SIMPLICIO: Mas nem todo mundo pode ser um artista. E as crianças que não são "pessoas matemáticas"? Como elas se encaixariam no seu esquema?

SALVIATI: Se todos fossem expostos à matemática em seu estado natural, como toda a diversão desafiadora e as surpresas que ela traz, eu acho que veríamos uma mudança dramática tanto na atitude dos estudantes com relação à ela, quanto em nossa concepção do que significa sem "bom em matemática". Nós estamos perdendo muitos potenciais bons matemáticos - pessoas criativas e inteligentes que com razão rejeitam o que parece um assunto sem significado e estéril. Elas são simplesmente espertas demais para
perder seu tempo com tal baboseira.

SIMPLICIO: Mas você não acha que se a aula de matemática fosse feita como uma aula de artes um monte de crianças simplesmente não aprenderia nada?

SALVIATI: Elas não estão aprendendo nada agora! Melhor não ter aulas de matemática nenhuma ao que está sendo feito atualmente. Pelo menos algumas pessoas poderiam ter uma chance de descobrir algo belo por si próprios. 

SIMPLICIO: Então você removeria matemática do currículo escolar?

SALVIATI: A matemática já foi removida! A única questão é o que faremos com a insípida e vazia concha que restou. É claro que eu preferiria substituí-la com uma ativa e divertida batalha com idéias matemáticas.

SIMPLICIO: Mas quantos professores de matemática sabem o suficiente sobre seu trabalho para ensinar desta forma?

SALVIATI: Muito poucos. E esta é só a ponta do iceberg.



segunda-feira, 20 de maio de 2013

A situação da educação matemática brasileira

Hoje um post rápido, só para recomendar 3 artigos da Folha de São Paulo. Espero que estes textos nos façam refletir sobre o que estamos (sim, nós todos) fazendo com a qualidade da educação matemática em nosso país.

Desta vez, o post segue sem comentários, pretendo dar continuidade ao post "O Lamento de um Matemático", onde me posicionarei sobre o tema.

Seguem os links:

http://www1.folha.uol.com.br/educacao/1255223-rendimento-dos-alunos-de-matematica-piora-entre-o-5-e-o-9-ano.shtml

http://www1.folha.uol.com.br/educacao/1255235-mec-minimiza-queda-e-afirma-que-as-perspectivas-sao-positivas.shtml

http://www1.folha.uol.com.br/educacao/1255234-analise-talvez-tenhamos-de-fazer-pacto-pelo-ensino-da-matematica.shtml


A todos, uma boa leitura!

domingo, 19 de maio de 2013

A história da hipótese de Riemann - parte 3: O palpite de Gauss.

É com prazer que volto às atividades desta série de posts sobre a hipótese de Riemann, um dos maiores mistérios da matemática atual. O leitor pode acompanhar os primeiros posts desta série neste link.

Um aviso aos navegantes, a hipótese de Riemann não é um dos problemas não resolvidos da matemática mais antigos por acaso, e as coisas a partir deste post vão começar a ficar um pouco mais indigestas, eu diria. (Não foi por acaso que parei de escrever sobre isso também...)

Desde que os primeiros resultados de Euclides sobre primos foram publicados, até o tempo da história deste post, por volta de 1800, passaram-se 2 milênios. Foram mais de 2000 anos tentando entender os primos, mais de 2000 anos tentando encontrar uma maneira de gerá-los, uma ordem em sua distribuição. E até então, eles ainda escapavam à percepção dos matemáticos da época. Como Euler disse, em 1751:

"Há alguns mistérios que a mente humana nunca irá penetrar. Para nos convencer, basta olharmos para uma tabela de primos, e devemos nos convencer de que ali não reina nem ordem, nem regra."

Talvez fosse a hora de uma mudança de estratégia. 

A função $\pi$ de Gauss


Gauss teve uma ideia. No lugar de tentar decidir se um número é primo ou não, vamos contar a quantidade  de primos até este número. Deste modo, teremos uma ideia (vaga, é bem verdade) de como estes primos estão distribuídos.

Funciona assim: entre 1 e 30, há 10 números primos. Devemos suspeitar que em cada bloco de 3 números naturais consecutivos, há pelo menos 1 deles que é primo. Quando olhamos para a lista destes primos, vemos que esta propriedade falha poucas vezes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Pois bem, o garoto Gauss, de 15 anos, havia ganhado um livro, cuja contracapa era decorada com uma tabela de números primos. Ele notou podíamos estimar, com certa acurácia, como os primos estavam distribuídos baseando-nos em sua quantidade num determinado intervalo, e conforme estes intervalos iam crescendo, mais preciso ficava o palpite.

Era a primeira evidência da importância da função $\pi$ de Gauss, que ele definiu por $\pi (N) =$ número de primos do conjunto $\{1,2, \cdots , N\}$.

A segunda evidência, era que esta função de fato encontra os primos!

Por exemplo, $\pi(100) = 25$, e $\pi(101) = 26$. Isto significa que de $1$ a $101$ há um primo a mais do que havia de $1$ a $100$. Ora, este primo só pode ser $101$, já que ele foi o único elemento adicionado ao conjunto. É assim que a função $\pi(N)$ encontra os primos: se $\pi(N)< \pi(N+1)$, então $N+1$ é primo! Andar de $\pi(1)$ a $\pi(N)$ nos números naturais, é subir uma escada: a cada novo degrau, encontramos um primo.

Veja abaixo o gráfico desta função entre $1$ e $100$:

A escadaria dos primos: a cada novo degrau, um novo primo!


Mas ainda havia um problema com esta função. Afinal, para contar o número de primos até $N$, precisamos saber quem são os primos até $N$, certo?

O palpite de Gauss


Não exatamente. O livro em que Gauss tinha visto a tabela de primos era um livro sobre logaritmos, e continha diversas tabelas de logaritmos, as quais chamaram sua atenção. Ele notou que os intervalos médios entre os primos de $1$ até $N$ podiam ser estimados por $log(N)$, como o leitor pode consultar na tabela abaixo:





Gauss notou que a cada vez que multiplicava por 10, adicionava em média 2.3 à frequência dos primos encontrada. Esta relação entre multiplicação e adição, é precisamente a relação existente nos logaritmos, e a constante 2.3, o logaritmo de 10 em uma base especial, a base $e$, do logaritmo natural. Ele conjecturou então, que o número de primos até $N$ podia ser contado por $\frac{N}{log(N)}$.


Naquele tempo, tabelas de logaritmos já eram bastante conhecidas, pois eram usadas para comércio e navegação, e havia tabelas de primos gigantescas. Era fascinante que algo tão desordenado como os números primos pudesse ter seu comportamento descrito por algo tão bem comportado como logaritmos. Mais fascinante ainda é o fato de Gauss ter descoberto esta conexão com 15 anos.

Acontece que Gauss, apesar de inegável gênio, era extremamente meticuloso, e adorava um bom enigma. Em seu diário, Gauss escrevia coisas como

"Eureka! $num = \Delta + \Delta +\Delta$"

Isto significava que ele tinha provado que todo número inteiro maior que ou igual a 5 escreve-se como a soma de três números triangulares: 1,3,6,10, 15, $\cdots$ Estes números são os resultados das somas $S_n = 1+2+3+\cdots +n$.

Como não possuia uma prova de sua conjectura sobre a distribuição dos primos, a única coisa que Gauss disse para indicar sua descoberta foi "Você não tem ideia de quanta poesia existe em uma tabela de logaritmos".

Um outro grande matemático, Adrien-Marie Legendre, 6 anos depois da descoberta de Gauss publicou uma prova de um resultado de natureza semelhante. Havia passado desapercebido ao jovem Gauss que embora seu palpite parecesse correto, quanto maior o número $N$ em questão, mais a função $\frac{log(N)}{N}$ parecia se desviar no número de primos até $N$, $\pi(N)$. A tabela abaixo ilustra este desvio:

A curva acima mostra o número de primos até $N$, $\pi(N)$, enquanto a curva abaixo mostra o palpite de Gauss.

Legendre publicou seus resultados em 1808, em seu tratado Theorie des Nombres propondo a seguinte relação entre estas funções

$$ \pi(N) \approx \frac{N}{log(N)-1,80366}$$

Esta correção é responsável por levantar um pouco a curva de Gauss, de modo que esta aproxime com maior fidelidade a função $\pi$.

Embora a fórmula de Legendre parecesse suficientemente boa para a capacidade computacional da época, a introdução do número $1,80366$ era responsável por certa relutância da comunidade matemática em relação à sua fórmula. Deveria existir algo mais belo para descrever o comportamento dos primos.

Posteriormente, em 1849, Gauss escreveu uma carta a um colega astrônomo, Johann Encke, na qual ele falava sobre a sua previsão de infância, e refinava a estimativa de Legendre.

O que Gauss fez foi ver a sua função $\pi$ sob um novo ângulo.  Na sua previsão anterior, Gauss havia pensado em termos da quantidade de primos. Agora, ele pensava em termos da probabilidade de um dado número ser primo.

Por exemplo, considere todos os números de 1 a 100. Há exatamente 25 primos neste intervalo. O que Gauss pensou é que dado um número neste intervalo, há uma probabilidade de $\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$ deste número ser primo. Com este pensamento ele chegou à sua fórmula anterior $\pi(N)~{N}{log(N)}$. A diferença da linha de pensamento do jovem Gauss para o já experiente Gauss, em 1849, foi melhorar esta estimativa da seguinte forma.

Vamos contar ao contrário. Pense no número 100 como um número escolhido ao acaso no conjunto dos números de 1 a 100. Pelo que vimos acima, a probabilidade de 100 ser primo é $\frac{1}{4}$ (Note que isto é somente heurística, dado um número natural, ou ele é primo ou não). Podemos reformular melhor esta estimativa, e dizer que a probabilidade de 100 ser um número primo do conjunto dos números de 1 a 100 é
$$\frac{\frac{100}{log(100)}}{100}=\frac{1}{log(100)} \approx \frac{1}{4}$$

Agora vamos tirar 100 do nosso saco de números. Ficamos com todos os números de 1 a 99. Pensaremos agora em 99 como um número escolhido ao acaso neste conjunto restante. Teríamos então uma probablidade de $\frac{1}{log(99)}$ deste número ser primo, já que não precisamos mais nos preocupar com o número 100 que foi retirado no primeiro processo.

Continuamos este processo, sempre tomando o maior número de conjunto e calculando a probabilidade deste número ser primo.

Ora, 99 ser primo ou não é independente de 100 ser primo ou não. Deste modo, a probabilidade de termos contado um número primo dentre os números contados é simplesmente a soma da probabilidade de cada um deles ser primo.

Gauss então chegou ao seguinte palpite

$$\pi(100) = \frac{1}{log(100)}+\frac{1}{log(99)} + \cdots + \frac{1}{log(2)}$$

Mais geralmente $$\pi(N)= \sum_{i=2}^{N} \frac{1}{log(N)}$$

Embora este palpite já seja muito melhor do que o anterior, e até mesmo melhor que o de Legendre, Gauss ainda iria sugerir na mesma carta para Encke a seguinte generalização deste pensamento sobre a probabilidade de um dado número ser primo. Ele introduziu a função $Li(x)$, a integral logarítmica,  definida para $x>0$ por

$$Li(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{log(s)}ds$$

Observe que a função $x \mapsto \frac{1}{log(x)}$ não está definida em $x=1$, de modo que para $x >1$ esta integral é calculada como

$$Li(x) = \lim_{ \varepsilon \to 0}\int_{0}^{1-\varepsilon} \frac{1}{log(s)}ds + \int_{1+\varepsilon}^{x} \frac{1}{log(s)} ds$$

O gráfico abaixo mostra uma relação entre $\pi(x)$ e suas aproximações por $\frac{x}{log(x)}$ e $Li(x)$ (de fato, no gráfico a função utilizada é um pouco diferente, a $li(x)$ definida como a integral acima, exceto que o limite inferior de integração é 2, e não 0).

Uma comparação entre as duas aproximações propostas por Gauss.


Gauss nunca pesquisou a fundo a relação entre os números primos e logaritmos. A descoberta do movimento orbital de Ceres aos 24 anos havia tornado Gauss uma estrela para a comunidade científica, e logo seus pensamentos foram desviados para a astronomia, e posteriormente, às geometrias não euclidianas (leia um pouco sobre os trabalhos de Gauss neste post).

Mas Gauss ainda haveria de dar a sua última contribuição para os números primos. Em 1806, seu patrono Duque Ferdinando, foi morto por tropas napoleônicas. Gauss teve que começar a procurar uma maneira de garantir seu sustento. Quis o destino que ele encontrasse uma mente nova, que viria a revolucionar a matemática anos depois em seu novo lugar de trabalho: Göttingen.

E é lá que continuaremos a nossa viagem pela história da hipótese de Riemann. Até a próxima.


Referências


[1] Du Sautoy, M. ; The Music of Primes: Searching to Solve the Greatest Mistery in Mathematics, Harper Perennial, 2004.


[2] Sarnak, P. ; Problems of the Millenium: The Riemann Hypothesis. The Clay Mathematics Intitute, 2004. Disponível em http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/Sarnak_RH.pdf


[3] Edwards, H. M. ; Riemann's Zeta Function, Dover Publications, 2001.

[4] Fonction zêta de Riemann, artigo no wikipedia ( em Francês): disponível aqui.

[5] Bombieri, E.; The Riemann Hypothesis. The Clay Mathematics Institute, 2000. Disponível em http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/riemann.pdf


terça-feira, 2 de abril de 2013

O Lamento de um Matemático, parte 1.

       O texto que segue, a ser dividido em quatro partes, é uma tradução livre ( e em certos pontos, adaptada, por diferenças no sistema educacional dos dois países) do texto original de Paul Lockhart, que pode ser encontrado na referência. A única intenção de publicá-lo neste blog, é levá-lo a uma audiência mais ampla, já que o jornal em que foi publicado não possui circulação no Brasil.



O Lamento de um Matemático

Por Paul Lockhart


       Um músico acorda de um terrível pesadelo. Em seus sonhos, ele se encontra em uma sociedade onde a educação musical foi tornada obrigatória. "Nós estamos ajudando os estudantes a tornarem-se mais competitivos em um mundo cada vez mais cheio de som." Educadores, sistemas escolares e o Estado são colocados em comando deste projeto vital. Os estudos são comissionados, comitês são formados, e decisões são tomadas - tudo sem o conselho ou a participação de um único músico profissional ou compositor.
       Já que os músicos são conhecidos por escrever suas idéias no formato de partituras, estes curiosos pontos e retas negros devem constituir a "linguagem da música". É imperativo que os estudantes tornem-se fluentes nesta linguagem se quiserem atingir qualquer grau de competência musical; de fato, seria ridículo esperar que uma criança cantasse uma música ou tocasse um instrumento sem possuir uma base completa em notação e teoria musicais. Tocar e escutar música, sem falar de compor uma peça original, são considerados tópicos muito avançados, e em geral são adiados até a faculdade, ou mais frequentemente, a pós-graduação.
       Quanto às escolas de ensino fundamental e médio, sua missão é treinar os estudantes para usar esta linguagem, a mexer os símbolos de um lado para outro, de acordo com um um conjunto fixado de regras: "A aula de música é onde nós pegamos nossos cadernos,  nosso professor põe alguns símbolos no quadro, e nós os copiamos ou transpomos para uma clave diferente". "Nós temos que nos assegurar que colocamos as claves e armaduras de maneira correta, e nosso professor é muito exigente quanto a termos certeza de que preenchemos nossas semimínimas completamente. Uma vez nós tínhamos um problema de escalas cromáticas e eu o fiz corretamente, mas o professor não considerou por que eu coloquei as hastes apontando na direção contrária".
       Em sua sabedoria, os educadores logo percebem que até mesmo a crianças muito pequenas pode ser dado este tipo de educação. De fato, é considerado bastante vergonhoso que um aluno da 3ª série ainda não tenha memorizado completamente seu círculo de quintas. "Terei que conseguir um tutor musical para meu filho. Ele simplesmente não se dedica à sua tarefa de casa. Diz que é enfadonha. Ele só fica sentado ali, olhando pela janela, cantarolando notas para si mesmo e fazendo músicas bobas".
       Nas séries avançadas a pressão está no ápice. Afinal, os alunos devem estar preparados para os testes padronizados e os exames de admissão às universidades. Os alunos devem tomar aulas em Escalas e Modos, Métrica, Harmonia e Contraponto. "É muita coisa para eles aprenderem, mas posteriormente, na faculdade, quando eles finalmente escutarem todas estas coisas, eles realmente irão apreciar todo o trabalho que fizeram no ensino médio". Claramente, não há muitos estudantes que realmente vão concentrar-se em música, então apenas uma pequena quantidade irá ouvir alguma vez os sons que os pontos negros representam". Não obstante, é importante que todo membro da sociedade esteja apto a reconhecer uma modulação ou uma passagem fugal, independente do fato de que eles nunca vão ouvir uma. "Para lhe dizer a verdade, a maioria dos estudantes simplesmente não é muito boa em música. Eles estão entendiados nas aulas, suas habilidades são terríveis, e seus deveres de casa mal são legíveis. A maioria deles não poderia se importar menos sobre quão importante é a música no mundo de hoje; eles só querem tomar o menor número possível de cursos de música e terminar logo com isso. Eu acho que há pessoas musicais, e pessoas não-musicais. Eu tinha essa aluna, entretanto, cara, ela era sensacional! Suas partituras eram impecáveis - cada nota no lugar certo, caligrafia perfeita, sustenidos, bemóis, simplesmente belo. Ela dará uma bela de uma música algum dia."
       Ao acordar suando frio, o músico se dá conta, com gratidão, que tudo era apenas um sonho louco. "É claro!", ele se assegura, "Nenhuma sociedade iria reduzir tão bela e importante forma de arte a algo tão estúpido e trivial; nenhuma cultura seria tão cruel com suas crianças para privá-los de tão naturais e satisfatórios meio de expressão humana. Que absurdo!"
       Enquanto isso, no outro lado da cidade, um pintor acaba de acordar de um pesadelo semelhante...
       Eu estava surpreso por encontrar-me numa sala de aula comum- sem cavaletes, sem tubos de tinta. "Ah, na realidade nós não usamos tinta até o ensino médio", disseram-me os estudantes. "Na sétima série nós estudamos principalmente as cores e os aplicadores". Eles mostraram-me uma lição de casa. Em um lado, haviam  amostras de cor com espaços em branco ao lado delas. Diziam-lhes que escrevessem os nomes. "Eu gosto de pintura", um deles observou, "eles me dizem o que fazer, e eu faço. É fácil!".
       Após a aula eu falei com o professor. "Então seus alunos na verdade não fazem nenhuma pintura?" Eu perguntei. "Bem, próximo ano eles verão Pré-Pintura-por-Números. Isto os prepara para a continuação principal Pintura-por-Números, no ensino médio. Então eles irão usar tudo que aprenderam aqui e utilizar em situações reais de pintura - mergulhar o pincel na tinta, limpá-lo, coisas assim. Claramente nós monitoramos nossos estudantes de acordo com suas habilidades. Os pintores realmente bons - aqueles que conhecem suas cores e pincéis de traz para frente - estes iniciam a pintar de verdade um pouco mais cedo, e alguns deles até assistem à disciplina de Colocação Avançada para ganhar créditos na faculdade. Mas primordialmente, nós estamos somente tentando dar a estas crianças uma boa formação do que se trata a pintura, de modo que quando eles saírem no mundo real e pintarem suas cozinhas, eles não  façam uma bagunça total."
       "Hum. E estes cursos do ensino médio que você mencionou..."
       "Você quer dizer Pintura-por-Números? Nós estamos tendo muito mais inscrições ultimamente. Eu acredito que isto vem de pais que querem que seus filhos adentrem uma boa universidade. Nada é melhor que uma Pintura-por-Números Avançada num histórico escolar."
       "Por que as universidades ligam se você pode preencher regiões enumeradas com suas cores correspondentes?"
       "Você fala com um dos meus professores! Eles estavam sempre falando sobre expressar-se e expressar seus sentimentos e coisas assim - coisas realmente muito abstratas. Eu tenho uma graduação em pintura, mas eu nunca trabalhei muito em telas em branco. Eu simplesmente uso o kit de Pintura-por-Números fornecido pela diretoria da escola."
     
***
       Infelizmente, nosso sistema atual de educação matemática é precisamente este tipo de pesadelo. De fato, se eu tivesse que construir um mecanismo para o propósito de destruir a curiosidade natural de uma criança e seu amor por construir padrões, eu não poderia fazer um trabalho tão bom quanto que está sendo feito - eu simplesmente não teria a imaginação para inventar este tipo de ideias sem sentido e destruidoras de almas que constituem a educação matemática contemporânea.
       Todos dizem que algo está errado. Os políticos dizem, "nós precisamos de padrões maiores". As escolas dizem, "nós precisamos de mais dinheiro e equipamento". Educadores dizem uma coisa, e professores dizem outra. Estão todos errados. As únicas pessoas que entendem o que está acontecendo são aquelas mais frequentemente culpadas e menos frequentemente ouvidas: os estudantes. Eles dizem "a aula de matemática é estúpida e entediante", e eles estão certos.


Esta é a primeira parte do texto de Lockhart. Espero que fique como uma reflexão, e até a próxima postagem.

segunda-feira, 25 de março de 2013

Probabilidade revisitada


Motivação


No último post, um problema sobre probabilidades foi sugerido (veja o problema neste link). O problema proposto foi:


"Problema: Qual a probabilidade de, dados dois números inteiros $m$ e $n$, termos $m$ e $n$ primos entre si?"

Agradeço a Diego Souza, que postou a ideia da solução nos comentários, e a Alexandre Fernandes, que de fato chegou ao ponto que eu queria.

Note que no problema em questão, estamos lidando com um "espaço amostral" infinito, o conjunto dos números naturais. O leitor provavelmente já entrou em contato com o conceito de probabilidade para eventos definidos em conjuntos finitos, mas como já foi mostrado neste blog ( confira o link), conjuntos infinitos podem ser bastante traiçoeiros.

Pense o leitor comigo no seguinte problema. Intuitivamente, qual seria a probabilidade de dentre todos os conjuntos naturais, um número escolhido ao acaso ser exatamente o número 2013?

Num raciocínio rápido, como natural extensão do conceito de probabilidade que temos desde o ensino médio, podemos concluir que esta probabilidade é zero. Senão, vejamos. Vamos aumentar o nosso espaço amostral gradativamente, sendo $I_n=\{1,2,3,\cdots, n\}$ o espaço amostral no n-ésimo passo. Vemos que a probabilidade de 2013 ser escolhido neste conjunto é: $0$, se $n < 2013$, e $1/n$, se $n \geq 2013$. Claramente, esta probabilidade vai a zero, quando $n \to \infty$.

Ainda assim, é possível retirar o número 2013 numa escolha feita ao acaso.

Então, como explicar que eventos com probabilidade nula possam acontecer?

Precisamos dar uma noção precisa do que é probabilidade neste contexto, que extenda a noção de probabilidade já definida para espaços amostrais finitos. Vejamos como isto é feito.

Espaços de Probabilidade

Ao leitor familiarizado com análise real (espaços de medida), é possível definir um conceito de probabilidade de maneira bem sucinta: um espaço de medida, com medida total 1.

Mas esta é uma abordagem que torna tudo muito artificial. Vejamos como é natural chegar a esta mesma definição, a partir do que já conhecemos para espaços amostrais finitos.

O primeiro passo, é definir os elementos envolvidos.

Consideramos inicialmente um processo, que pode ser um experimento, uma pesquisa, ou um processo abstrato definido pelo autor.

Espaço Amostral: é o conjunto de todos os resultados considerados em questão.

Evento: é o conjunto de resultados obtidos para uma única aplicação do processo em questão. Diferentes resultados que podem ser obtidos nas várias aplicações do processo são considerados eventos distintos.

Deste modo, é natural definir um espaço amostral como um conjunto $\Omega$ um resultado como um elemento deste conjunto. Note que todo evento é um subconjunto de $\Omega$, mas deixamos claro que não é necessário que qualquer subconjunto de $\Omega$ seja um evento. Isto em geral não será um problema. Veremos que nas aplicações, é comum que os subconjuntos de $\Omega$ que não são eventos não sejam relevantes para o problema em questão.

Vamos definir agora o que seria uma "probabilidade" no conjunto $\Omega$. Uma probabilidade seria uma noção de quão favorável é o evento em questão no espaço de todos os possíveis resultados. Podemos pensar numa probabilidade de um evento $A \in \Omega$ como uma "medida" do tamanho do subconjunto $A$ em relação ao "tamanho" do conjunto $\Omega$. Já que nem todos os subconjuntos de $\Omega$ são considerados eventos, não precisamos definir esta noção de "tamanho" para todos os subconjuntos de $\Omega$. Notamos também que já que o conceito de probabilidade é uma comparação relativa entre os "tamanhos" do evento e do espaço amostral, podemos sempre assumir que o "tamanho" do espaço amostral é 1.

Definiremos o "tamanho" de um evento $A$ de $\Omega$ através de uma função, que associa a cada evento o seu tamanho - uma medida. Como notamos anteriormente, não é necessário medir todos os subconjuntos de $\Omega$, somente uma classe deles que interessa para o problema em questão. Naturalmente, o tipo de classes que estaremos interessado satisfaz algumas propriedades naturais:

  1. $\Omega$ é um evento: A hipótese mais natural. Isto significa que o conjunto de todos os resultados - o espaço amostral $\Omega$- é um resultado possível.
  2. Se $A$ é um evento, $\Omega - A$ também é um evento: isto significa tão somente que dada uma aplicação do processo, tanto $A$ como o oposto de $A$ ( no sentido de complementar) são resultados possíveis.
  3. Se $A$ e $B$ são eventos, $A \cup B$ também é um evento: Isto significa que dados 2 conjuntos de resultados possíveis, a sua união também é um conjunto de resultados possíveis. 

Se $\cal{F} \in P(\Omega)$ é um subconjunto do conjunto das partes de $\Omega$ que satisfaz às propriedades acima, dizemos que $\cal{F}$ é uma álgebra de conjuntos em $\Omega$. Este é o ambiente natural em que fazemos probabilidade quando o conjunto $\Omega$ é finito. Entretanto, quando o conjunto $\Omega$ é infinito, faz sentido falar de uniões enumeráveis de subconjuntos de $\Omega$. Iremos então estender a noção de álgebra de conjuntos, modificando a 3ª condição para incluir o caso de uniões enumeráveis:

      3'. Se ${(A_n)}$, $n \in \mathbb{N}$ é uma família enumerável de elementos de $\cal{F}$, então $A = \cup_{n=1}^{\infty} A_n$ é também um elemento de $\cal{F}$.

Se $\cal{F}$ é um subconjunto do conjunto das partes de $\Omega$ que satisfaz às condições 1, 2 e 3', dizemos que $\cal{F}$ é uma $\sigma$-algebra de conjuntos em $\Omega$.

Observe que as leis de de Morgan implicam, a partir das propriedades acima, que se $A$ e $B$ são eventos, então $A \cap B$ também é um evento. Mais geralmente, interseções enumeráveis de eventos são ainda eventos.

Agora temos o ambiente próprio para a nossa definição de "tamanho". Vejamos então o que é natural assumir sobre a função que descreve esta noção.


  1. A função $\mu$ está definida em uma $\sigma$-algebra $\cal{F}$ de $\Omega$. 
  2. Assume valores no intervalo $[0,1]$, sendo seu valor $1$ no conjunto $\Omega$.
  3. Se $(A_n)$, $n \in \mathbb{N}$ é uma família de conjuntos disjuntos em $\cal{F}$, então $$\mu(\cup_{n=1}^{\infty} A_n) =  \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n)$$.
Resumindo, definimos formalmente o ambiente para que tenhamos uma noção de probabilidades:

Definição: Um espaço de probabilidade é uma tripla $(\Omega, \cal{F}, \mu)$, constituída de um conjunto não vazio $\Omega$, uma $\sigma$-algebra de conjuntos em $\Omega$, $\cal{F}$, e uma medida definida nesta $\sigma$-algebra, $\mu$, de tal sorte que a medida do espaço amostral $\Omega$ é $\mu(\Omega) = 1$, e $\mu$ é $\sigma$-aditiva (ou enumeravelmente aditiva), isto é, a medida de uma união enumerável disjunta de conjuntos em $\cal{F}$ é a soma das medidas destes conjuntos.

Em geral, dependendo do caso em questão, podem ser exigidas diversas condições extras para a medida $\mu$. Uma das mais comuns, é a completude desta medida. Dizemos que uma medida é completa, se para qualquer $ A \in \cal{F}$ tal que $\mu(A) = 0$, tem-se que $B \in \cal{F}$. O leitor pode consultar as referências para aprender mais sobre espaços de probabilidades e suas aplicações. É comum que condições extras sobre a medida tornem o fato desta não ser definida em todos os subconjuntos de $\Omega$ essencial em alguns casos, como o leitor pode ver neste post

Aplicação em casos discretos

Voltaremos a nossa atenção agora ao caso descrito no problema proposto no post anterior. Podemos modelar este problema da seguinte maneira. 
O processo descrito será o seguinte: escolhido um número natural ao acaso verificam-se seus múltiplos positivos. Nosso espaço amostral é claramente o conjunto dos números naturais, $\Omega = \mathbb{N}$.

Passemos agora à medida de probabilidade. Para qualquer noção de probabilidade nos naturais que estenda o conceito de probabilidade em conjuntos finitos, é natural assumir que tal medida é invariante por translações inteiras, isto é, $\mu(A) = \mu(A+r)$, onde $r \in \mathbb{N}$. Isto garante que ao tomar, por exemplo, o conjunto de todos os múltiplos de 3, e o conjunto dos números da forma $3k+1$, $k \in \mathbb{N}$, teremos a mesma probabilidade de escolher ao acaso um número em cada um destes conjuntos, o que é uma hipótese bem natural.

É claro que as condições de invariância por translações e de enumerabilidade aditiva não podem ser satisfeitas para uma medida em $\mathbb{N}$ com medida total 1. Com efeito, se isto pudesse acontecer, teríamos $\mu(\mathbb{N}) = \sum_{i \in \mathbb{N}} \mu(\{i\})$. Como $\mu$ é invariante por translações, todos os conjuntos $\{i\}$ tem a mesma medida, logo $\sum_{i \in \mathbb{N}} \mu(\{i\}) = 0$ ou $ \infty$. Em qualquer caso, é diferente da medida total dos naturais, $1$.

Neste caso, no lugar do conceito de medida, temos o conceito de densidade, definido por Banach da seguinte forma: Seja $A$ um subconjunto de $\mathbb{N}$ e considere os conjuntos $A_n = A \cap I_n$.  Se existe o limite $$d(A)=\lim_{n \to \infty} \frac{|A_n|}{n}$$ definimos este número como a densidade do conjunto $A$. Seja $\cal{F}$ o conjunto de todos os subconjuntos de $\mathbb{N}$ que possuem densidade. Vamos provar que tal conjunto é uma $\sigma$-algebra. Claramente, $\mathbb{N} \in \cal{F}$.

Suponha que $A \in \cal{F}$. Então existe o limite $$\lim_{n \to \infty} \frac{|A_n|}{n}$$. Se $B = \mathbb{N}-A$, existe portanto o limite $$\lim_{n \to \infty} \frac{|B_n|}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n-|A_n|}{n} = 1 - d(A)$$.

Considere agora uma coleção finita de subconjuntos disjuntos de $\mathbb{N}$, $A^1, A^2, \cdots, A^k$ . Já que os $A^i$ são disjuntos, temos $|\cup_{i=1}^{k} {A^i}_n| = \sum_{i=1}^{k} |A_{n}^{i}|$, de modo que $$d(\cup_{i=1}^{k} {A^i}_n) = \sum_{i=1}^{k} d(A^i)$$. De modo que temos aditividade finita. Observe que isto não impede que tenhamos aditividade enumerável para uma determinada coleção de subconjuntos de $\mathbb{N}$, mas não iremos colocar esse requerimento em nossa definição. De fato, temos que para uma coleção enumerável de subconjuntos disjuntos e mensuráveis de $\mathbb{N}$ tal que a soma de suas densidades converge, a sua união é um conjunto mensurável e sua densidade é a soma das densidades desta coleção.

Definimos assim a probabilidade de um evento como $P(E) = d(E)$.

Munidos agora da ferramente necessária para medir o "tamanho" de subconjuntos dos naturais, podemos resolver nosso problema.

O leitor interessado pode consultar a solução de Diego Souza nos comentários do problema anterior, que pode ser formalizada com o conceito de densidade de Banach.

A solução que irei apresentar será um pouco diferente.

Observe que o complementar do conjunto "dois números naturais serem relativamente primos" é "dois números naturais terem m.d.c (máximo divisor comum) diferente de 1". O último conjunto pode ser descrito como união dos conjuntos "dois números naturais cujo m.d.c. é n", onde "n" varia nos naturais maiores que 1. Este último, pode ser descrito como uniões e interseções  de eventos, e portanto é um evento. Assim, o conjunto que estamos querendo medir é um evento.

Vamos assumir que este evento tem probabilidade $P$. Observe que se 2 números $p$ e $q$ tem m.d.c $(p,q) =n$, temos $(\frac{p}{n}, \frac{q}{n}) = 1$. Temos então, que para que $(p,q) = n$, temos que $p$ e $q$ são divisíveis por $n$, e este evento tem probabilidade $\frac{1}{n^2}$. Além disso, $(\frac{p}{n}, \frac{q}{n}) = 1$, e este evento tem probabilidade $P$. Portanto, a probabilidade que $p$ e $q$ tenham m.d.c. $n$ é exatamente $\frac{P}{n^2}$. Já que estes eventos são mutualmente exclusivos, e dados 2 números naturais o seu m.d.c deve ser algum número natural, temos que $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{P}{n^2} = P\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} =1$$
Com isto, concluímos que $$P= \frac{1}{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}} = \frac{6}{{\pi}^2}$$.

E isto conclui o post de hoje. Espero que tenham gostado. Até a próxima.



quinta-feira, 7 de março de 2013

Um problema sobre probabilidades.

Voltando às atividades aqui pelo blog, depois de um longo tempo ausente.

Como vocês devem ter percebido, o tempo está curto. Mas passei aqui hoje para sugerir o seguinte problema:


Problema: Qual a probabilidade de, dados dois números inteiros $m$ e $n$, termos $m$ e $n$ primos entre si?


A solução para este problema sairá na semana que vem, mas espero que até lá ela apareça nos comentários! Em breve voltarei a publicar nas duas séries que iniciei e não terminei, sobre a Hipótese de Riemann e sobre Singularidades de Curvas Analíticas em ${\mathbb{C}}^2$.

Até o próximo post.